Bonjour, j'ai un DM de maths à rendre pour demain et je suis bloquée à la question 3 b) L'énoncé est : On considère un récipient cylindrique de rayon intérieur
Question
L'énoncé est : "On considère un récipient cylindrique de rayon intérieur 10cm et de hauteur intérieur de 22cm. On place une boule de rayon 5cm au fond du récipient puis on verse de l'eau jusqu'à recouvrir exactement la boule (la boule ne flotte pas). On enlève cette boule et on la remplace par une seconde boule de même densité et de rayon différent; l'eau recouvre à nouveau exactement la seconde boule. On se demande quel st le rayon r de cette boule.
3a) Ecrire une équation dont r est la solution;
3b) Monter qu'elle est équivalente à une équation de la forme (r-5)(ar^2+br+c)=0
c; Conclure
Merci d'avance pour votre aide !:)
1 Réponse
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1. Réponse lemortalex
a) On commence par exprimer le volume d'eau dans le récpient cylindrique
La boule de rayon 5 cm ne flotte pas et l'eau la recouvre exactement donc l'eau le cylindre a de l'eau sur 10 cm (2 x 5 cm) de haut
Le volume d'un cylindre est π x R² x H
Le volume d'une sphère est 4π/3 x R³
On a donc
VolumeEau + Volume sphere de rayon 5 cm = Volume d'un cylindre d'une hauteur de 10 cm
soit VolumeEau + 4π/3 x 5³ = π x 10² x 10
d'où VolumeEau = π x 10³ - 4π/3 x 5³
VolumeEau = π x (5 x 2)³ - 4π/3 x 5³
VolumeEau = π x (1000 - 500/3)
VolumeEau = 2500 x π/3
VolumeEau ≈ 2618 cm³
Maintenanton plonge une seconde sphère de rayon R dans le cylindre et l'eau recouvre à nouveau exactement la sphère, on a donc
R ≤ 10 (la boule rentre dans le cylindre)
Et
VolumeEau + Volume sphere de rayon R = Volume d'un cylindre d'une hauteur de 2 R
VolumeEau + 4π/3 x R³ = π x 10² x (2 x R)
soit 4π/3 x R³ - 2 x π x 10² x R + VolumeEau = 0
4π/3 x R³ - 200 x π x R + 2500 x π/3 = 0
4π/3 x (R³ - 600/4 x R + 2500/4) = 0
R³ - 150 x R + 625 = 0
(R - 5) x (a R² + b R + c) = 0
équivaut à a R³ + (b - 5a) x R² + (c - 5 b) x R - 5c = 0
On regarde donc si on peut trouver a, b et c vérifiant
- a = 1
- b - 5 a = 0
- c - 5 b = - 150
- - 5c = 625
soit
- a = 1
- b = 5 a ⇒ b = 5
- c = -150 + 5 b ⇒ c = -150 + 5 x 5 = -125
- c = -625/5 = -125
Les coefficients a, b, c existent, notre équation R³ - 150 x R + 625 = 0 est donc équivalente à
(R - 5) x (R² + 5 x R - 125) = 0
On sait que le rayon de la deuxième boule est différent de celui de la première, on cherche donc R ≠ 5
La valeur de R recherchée est donc une solution de R² +5 x R - 125 = 0. On peut préciser qu'il s'agit d'une solution positive (la boule ne peut pas avoir un rayon négatif)
Le discriminant est Δ = (5)² - 4 x 1 x (-125) = 525
Les solutions sont r1 = (-5 - √525)/2 ≈ -13.96 et r2 = (-5 + √525)/2 ≈ 8.96
On a donc R = (-5 + √525)/2 soit R ≈ 9 cm