a,b,c appartient à Z et a,b,c sont des nombres impaires prouvez que ax2+bx+c=0 n'a pas de solutions dans Q

Léquation a x² + b x + c = 0  a pour discriminant Δ = b² - 4 a c

• n' a pas de solution dans R si Δ < 0

Donc si a, b et c vérifient   b² < 4 a c , il n'y a pas de solution dans R donc pas de solution dans Q

• a une solution unique dans R si Δ = 0

Δ ne peut pas être nul si a, b et c sont impairs

a c est pair parce que c'est le produit de deux nombres impairs

4 ac est pair parce que c'est le produit de deux nombres pairs

b² est impair si b est impair parce que si b est impair il peut s'écrire sous la forme b = 2 k + 1 avec k entier, d'où b² = 4 k² + 4 k + 1 = 4 (k² + k) + 1, le terme 4 (k² + k) est pair parce que 4 est pair, donc b² est impair

comme b² est impair et  4 ac est pair, Δ est impair donc il ne peut pas être nul

Donc a, b et c ne permettent pas d'obtenir un discriminant nul

• a deux solutions dans R si Δ > 0, x1 = (-b + √Δ)/(2a) et x2 = (-b - √Δ)/(2a)

Pour que x1 et x2 soient rationnels, il faut que √Δ soit rationnel

• (2 a) est un entier donc x1 est rationnel si (-b + √Δ) est rationnel. b est un entier, donc (-b + √Δ) est rationnel si √Δ est rationnel
• (2 a) est un entier donc x2 est rationnel si (-b - √Δ) est rationnel. b est un entier, donc (-b - √Δ) est rationnel si √Δ est rationnel

si √Δ est rationnel, il peut s'écrire sous la forme √Δ = P/Q avec P et Q deux entiers premiers entre eux

on aurait donc √(b² - 4 ac ) = P/Q

soit (b² - 4 ac) = P²/Q²

soit Q² x (b² - 4ac) = P²

On a (b² - 4ac) qui est impair (b² est impair parce que b est impair et 4 ac est pair parce que 4 est pair), d'où

• Si Q² est pair, P² est impair  (A)
• Si Q² est impair, P² est pair   (B)

Q² x (b² - 4ac) = P²

Q² x b² = P² + 4 ac Q²

• Cas Q² est pair

Comme Q² est pair, on a Q² b² qui est pair

4 ac Q² est pair parce que 4 est pair, donc  P² + 4 ac Q² ne peut être pair que si P² est pair, ce qui est en contradiction avec le résultat précédent (A)

• Cas Q² est impair

Q² et b² sont impairs donc Q² b² est impair

4 ac Q² est pair parce que 4 est pair, donc P² + 4 ac Q² ne peut être impair que si P² est impair, ce qui est en contradiction avec le résultat précédent (B)

Donc √Δ ne peut pas s'écrire sous la forme P/Q avec P et Q entiers premiers entre eux, donc il n'est pas rationnel

Donc x1 et x2 ne sont pas rationnels

Donc pour tous nombres impairs a, b, c de Z, a x² + bx + c = 0 n'admet pas de solution dans Q