Bonsoir, J’ai vraiment besoin d’aide sur mon DM de spe math en terminale S J’ai essayé mais j’y arrive vraiment pas donc si quelqu’un pourrrzis m’aider svp

Bonjour,

Ex 1

Restes de la division de 4ⁿ par 9 :

4⁰ ≡ 1 (9)

4¹ ≡ 4 (9)

4² ≡ 7 (9)

4³ ≡ 1 (9)

4⁴ ≡ 4 (9)

etc...

Généralisation :

SI n = 0 + 3a, a ∈ N ⇒ 4ⁿ = 4⁰⁺³ᵃ = 4³ᵃ = (4³)ᵃ

   ⇒ 4ⁿ ≡ (64)ᵃ ≡ 1ᵃ ≡ 1  (9)

Si n = 1 + 3a, a ∈ N ⇒ 4ⁿ = 4¹⁺³ᵃ = 4 x 4³ᵃ = 4 x (4³)ᵃ

    ⇒ 4ⁿ ≡ 4 (9)

Si n = 2 + 3a, a ∈ N ⇒ 4ⁿ = 4²⁺³ᵃ = 4² x 4³ᵃ = 4² x (4³)ᵃ

    ⇒ 4ⁿ ≡ 16 ≡ 7 (9)

On en déduit :

Si n = 3a, 4ⁿ - 1 - 3n ≡ 1 - 1 - 9a ≡ 0 (9)

Si n = 3a + 1, 4ⁿ - 1 - 3n ≡ 4 - 1 - 3(3a + 1) ≡ -9a ≡ 0 (9)

Si n = 3a + 2, 4ⁿ - 1 - 3n ≡ 7 - 1 - 3(3a + 2) ≡ -9a ≡ 0 (9)

Ex 2

n pair ⇒ n = 2a, a ∈ N

⇒ 2ⁿ - 1 = 2²ᵃ - 1 = (2²)ᵃ - 1

2² ≡ 1 (3) ⇒ (2²)ᵃ ≡ 1 (3) ⇒ (2²)ᵃ - 1 ≡ 0 (3)

On en déduit :

2²ᵃ ≡ 1 (3) pour tout a ∈ N

⇒ pour tout n ∈ N, 2²^(n+1) + 2²^(n) + 1 ≡ 1 + 1 + 1 ≡ 0 (3)

Ex 3

3² + 2 = 11, 33² + 22 = 1 111, 333² + 222 = 111 111, et 3333² + 2222 = 11 111 111

⇒ on peut conjecturer : 333...3² + 222..2 = 111...1 avec 2n fois 1

je reviens....