Bonjour. Alors je suis face a un devoir que je trouve assez compliqué. Soit f(x)=x^2/x^2+2x-3 et D une droite d’equation y=mx avec m appartient a R*. Discuter s

f(x) = x²/(x² + 2 x - 3)   cette fonction n'a de sens que si x² + 2 x - 3 ≠ 0 ⇔(x+3)(x-1) ≠0

⇒ x ≠ - 3 et  x ≠ 1   donc x ∈ R - {- 3 ; 1}

D une droite d'équation y = m x  avec m ∈ R*

L'intersection de D avec Cf ⇔ f(x) =  m x

x²/(x² + 2 x - 3) = m x ⇔ x² = m x(x² + 2 x - 3)

⇔ x² = m x³ + 2 m x² - 3m x

⇔ m x³ + 2m x² - x² - 3m x = 0

⇔ m x³ + (2 m - 1) x² - 3m x = 0

⇔ x(m x² + (2 m - 1) x - 3 m) = 0 ⇒ x = 0 ou  m x² + (2 m - 1) x - 3 m = 0

Δ = (2 m - 1)² + 12 m² = 4 m² - 4 m + 1 + 12 m² = 16 m² - 4 m + 1 =

Si  Δ > 0  ⇔  16 m² - 4 m + 1  > 0 ⇒ la droite coupe la courbe Cf en deux points d'abscisse x1 et x2

δ = 16 - 4 *16 < 0 pas de racines en m, puisque l'équation en m a un signe a > 0  donc Δ > 0 quel que soit m

Donc la droite D coupe Cf en deux points d'abscisses x1 et x2