Bonjour, voici un exercice de maths (terminale S) que je n'arrive pas à résoudre, j'aimerais bien le comprendre... On admet l'encadrement (E) : pour tout réel x
Mathématiques
alggie
Question
Bonjour, voici un exercice de maths (terminale S) que je n'arrive pas à résoudre, j'aimerais bien le comprendre...
On admet l'encadrement (E) : "pour tout réel x appartient à [0;π[tex]x-\frac {x^3} 6 \leq sin x \leq x[/tex]]".
On pose pour tout n appartient à N*, n[tex]u_n=sin \frac {1}{n^{2}}+ sin \frac {2}{n^{2}}+...+sin \frac {n}{n^{2}}[/tex] et [tex]v_n=\frac {1} {n^2}+\frac {2} {n^2}+...+\frac {n} {n^2}[/tex].
L'objectif est d'étudier la convergence de la suite (u_n).
1. Déduire de l'encadrement (E) que, pour tout n appartient à N*, [tex]u_n\leq v_n[/tex].
2. a) Justifier que pour tout n appartient à N*, [tex]1^3+2^3+...+n^3\leq n^4[/tex]
b) En déduire, à l'aide de l'encadrement (E) que, pour tout n appartient à N*, [tex]v_n- \frac {1}{6n^2}\leq u_n[/tex]
3. Montrer que [tex]\lim_{n \to \infty} v_n=\frac{1}{2}[/tex]. En déduire que la suite (u_n) est convergente vers un réel que l'on précisera.
J'ai réussi à faire :
1. On a : [tex]x-\frac{x^3}{6} \leq sin x \leq x[/tex]
Soit : [tex]sin x \leq x[/tex]
[tex]sin \frac{x}{x^2} \leq \frac{x}{x^2}[/tex]
Et donc : [tex]sin \frac{1}{x^2} +sin \frac{2}{x^2}+...+ \frac{x}{x²} \leq \frac{1}{x^2} +\frac{2}{x^2}+...+\frac{x}{x^2}[/tex]
On en déduit que [tex]u_n \leq v_n[/tex].
2. a ) Raisonnement par récurrence ? Mais dans ce cas quelle est l'hypothèse de récurrence ?
3. Je ne sais pas démontrer la limite de (v_n) mais si u_n<=v_n et v_n convergente alors la limite de v_n est telle que : limite u_n<=limite v_n.
Merci à vous :)
On admet l'encadrement (E) : "pour tout réel x appartient à [0;π[tex]x-\frac {x^3} 6 \leq sin x \leq x[/tex]]".
On pose pour tout n appartient à N*, n[tex]u_n=sin \frac {1}{n^{2}}+ sin \frac {2}{n^{2}}+...+sin \frac {n}{n^{2}}[/tex] et [tex]v_n=\frac {1} {n^2}+\frac {2} {n^2}+...+\frac {n} {n^2}[/tex].
L'objectif est d'étudier la convergence de la suite (u_n).
1. Déduire de l'encadrement (E) que, pour tout n appartient à N*, [tex]u_n\leq v_n[/tex].
2. a) Justifier que pour tout n appartient à N*, [tex]1^3+2^3+...+n^3\leq n^4[/tex]
b) En déduire, à l'aide de l'encadrement (E) que, pour tout n appartient à N*, [tex]v_n- \frac {1}{6n^2}\leq u_n[/tex]
3. Montrer que [tex]\lim_{n \to \infty} v_n=\frac{1}{2}[/tex]. En déduire que la suite (u_n) est convergente vers un réel que l'on précisera.
J'ai réussi à faire :
1. On a : [tex]x-\frac{x^3}{6} \leq sin x \leq x[/tex]
Soit : [tex]sin x \leq x[/tex]
[tex]sin \frac{x}{x^2} \leq \frac{x}{x^2}[/tex]
Et donc : [tex]sin \frac{1}{x^2} +sin \frac{2}{x^2}+...+ \frac{x}{x²} \leq \frac{1}{x^2} +\frac{2}{x^2}+...+\frac{x}{x^2}[/tex]
On en déduit que [tex]u_n \leq v_n[/tex].
2. a ) Raisonnement par récurrence ? Mais dans ce cas quelle est l'hypothèse de récurrence ?
3. Je ne sais pas démontrer la limite de (v_n) mais si u_n<=v_n et v_n convergente alors la limite de v_n est telle que : limite u_n<=limite v_n.
Merci à vous :)
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
2)a) par récurrence : 1⁴ ≤ 1³ donc propriété validée eu rang n=1
On suppose qu'au rang n : 1³ + 2³ + ... + n³ ≤ n⁴
Au rang (n + 1) : 1³ + 2³ + ... + n³ + (n + 1)³ ≤ n⁴ + (n + 1)³ par hypothèse de récurrence
Or : n⁴ + (n + 1)³ = n⁴ + n³ + 3n² + 3n + 1
et (n + 1)⁴ = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + 1
donc : (n + 1)⁴ - [n⁴ + (n + 1)³] = 3n³ + 3n² + n > 0 pour tout n ∈ N*
⇒ (n + 1)⁴ ≥ n⁴ + (n + 1)³
⇒ 1³ + 2³ + ... + (n + 1)³ ≤ (n + 1)⁴
⇒ propriété héréditaire...
b) (E) ⇒ x - x³/6 ≤ sin(x) pour tout x ∈ [0;π]
⇒ en posant x = 1/n² (n ∈ N*) :
1/n² - 1/6n⁶ ≤ sin(1/n²)
...
3) Vn = (1 + 2 + ... + n)/n² = [n(n + 1)/2]/n² = n(n + 1)/2n² = (n + 1)/2n
⇒ lim Vn = lim n/2n = 1/2
⇒ lim (Vn - 1/6n²) ≤ lim Un ≤ lim Vn
⇔ 1/2 ≤ lim Un ≤ 1/2
⇒ lim Un = 1/2