ABCD est un losange de centre O tel que : AO = 7 cm et OB = 8 cm. 15                  5 a) Démontrer que le triangle AOB et rectangle en O. b) Calculer AB. ( On

ABCD est un losange de centre O tel que :

AO = 7/15 (cm)

OB = 8/5 (cm)

a) Démontrer que le triangle AOB est rectangle en O

Si ABCD est un losange, alors ses 2 diagonales sont ┴. Donc : AC ┴ BD → AO ┴ OB

→ le triangle AOB est rectagle en O.


b) Calculer AB

Dans le triangle rectangle AOB, le théorème de Pythagore vous permet d'écrire :

AB² = AO² + OB²

AB² = (7/15)² + (8/5)²

AB² = (7²/15²) + (8²/5²)

AB² = (49/225) + (64/25) → vous réduisez au même dénominateur, ici, c'est : 225

AB² = (49/225) + [(64 * 9)/(25 * 9)]

AB² = (49/225) + (576/225)

AB² = (49 + 576)/225

AB² = 625/225 → vous simplifiez par 25 en haut et en bas

AB² = 25/9

AB² = 5²/3²

AB² = (5/3)²

AB = 5/3


c) Calculer le périmètre du triangle AOB

p = AO + OB + AB

p = (7/15) + (8/5) + (5/3) → vous réduisez au même dénominateur, ici, c'est : 15

p = (7/15) + (24/15) + (25/15)

p = (7 + 24 + 25)/15

p = 56/15

p ≈ 3,733 cm

p = 3,8 cm (valeur arrondie au dixième près, c’est-à-dire à 1 chiffre après la virgule)


d) Calculer l'aire du triangle AOB

a = (AO * OB)/2

a = [(7/15) * (8/5)]/2

a = [(7 * 8)/(15 * 5)]/2

a = [56/75]/2

a = 56/(75 * 2)

a = (28 * 2)/(75 * 2) → vous simplifiez par 2

a = 28/75 → ce sont des cm²


e) Calculer l'aire du losange ABCD

L'aire du losange, c'est 4 fois l'aire du triangle

A = 4 * a

A = 4 * (28/75)

A = (4 * 28)/75

A = 112/75 → ce sont des cm²



e) La perpendiculaire à (AB) passant par O coupe (AB) en H. Calculer OH

Vous voyez si vous avez fait un dessin, que :

OH = BC/2 → et vous savez que : BC = AB

OH = AB/2

OH = (5/3)/2

OH = 5/(3 * 2)

OH = 5/6 cm

a) Tout losange est un  parallélogramme et donc les diagonales se coupent en leur milieu donc O est le milieu de BD
mais le triangle ABD est isocèle donc la médiane AO est en même temps médiatrice de BD et donc AO perpendiculaire à BD et l'angle O est droit.  

b) AB² = AO² + BO² = 49/225 + 64/25 = 49/225 + 320/225 = 369/225
AB = 3V41/15 cm
c) périmètre du losange  = 12V41/15 = 5,1 cm
d) 1) aire AOB = 1/2.7/15.8/5 = 28/75
2) aire du losange  = 4xaire AOB = 112/75
e) OH² = OA² + AH²
 OH² = OB² + BH²
OH² = BH.AH => 2OH² = 2BH.AH
4OH² = OA² + OB² + (AH² + BH² + 2AH.BH) = OA² + OB² + (AH + BH)²
4OH² = 49/225 + 64/25 + 369/225 = 738/225
OH² = 369/450
OH = V(738)/30