Bonjour, Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2:4) B(-1:2) et C (6:-2). On note C le cercle circonscrit au triangle ABC. 1) Quelle est la nature

Bonjour;

1)

On a :

AB² = (- 1 - 2)² + (2 - 4)² = 3² + 2² = 9 + 4 = 13 ;

AC² = (2 - 6)² + (4 - (- 2))² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52 ;

et : BC² = (- 1 - 6)² + (2 - (- 2))² = 7² + 4² = 49 + 16 = 65 ;

donc on a : AB² + AC² = 13 + 52 = 65 = BC² ;

donc le triangle ABC est rectangle en A .

2)

Le cercle C est circonscrit au triangle ABC rectangle en A ;

donc un diamètre de C est l'hypoténuse BC du triangle ;

donc le rayon de C est : BC/2 = (√(65))/2 .

Le centre de C est donc le milieu de [BC] dont les coordonnées sont :

(- 1 + 6)/2 = 5/2 = 2,5 et (2 - 2)/2 = 0  : notons J(2,5 ; 0) ce centre .

3)

On a :

JD² = (3 - 2,5)² + (- 4 - 0)² = 0,5² + 4² = (1/2)² + 16 = 1/4 + 16

= 1/4 + 64/4 = 65/4 ;

donc : JD = (√(65))/2 ;

donc le point D est un point du cercle C .

4)

Soit M(x ; 0) un point d'intersection de C avec l'axe des abscises

avec x un  nombre réel tel que : JM² = 65/4 .

JM² = (2,5 - x)² + (0 - 0)² = (2,5 - x)² ;

donc : (2,5 - x)² = 65/4 ;

donc : 2,5 - x = (√(65))/2 ou 2,5 - x = - (√(65))/2;

donc : x = 2,5 - (√(65))/2 ou x = 2,5 + (√(65))/2 ;

donc : x = (5 - √(65))/2 ou x = (5 + √(65))/2 ;

donc on a : E((5 - √(65))/2 ; 0) et F((5 + √(65))/2 ; 0) .

On a :

EF² = ((5 - √(65))/2 - (5 - √(65))/2 )² + (0 - 0)² = (√(65))² + 0² = 65 ;

et comme les points E et F sont des points du cercle ; donc [EF]

est un diamètre de C .