Pouvez vous m'aidez avec mon exercice de maths !?

1) montrer que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires

(AB) et (AC) sont perpendiculaires si le produit des pentes est égal à - 1

soit m₁ : la pente de (AB) ⇒ m₁ = (0 - 4)/(-5 + 3) = 2

        m₂ : la pente de (AC) ⇒ m₂ = (0 - 4)/(5+3) = - 4/8 = - 1/2

⇒ m₁ x m₂ = - 1/2) x 2 = - 1

⇒ donc (AB) ⊥ (AC)

2) a) K milieu de (AC); calculer les coordonnées du point K

soit K(xk ; yk)

K milieu de (AC) ⇒ xk = (xc+xa)/2  et  yk = (yc+ya)/2

⇒ xk = (5-3)/2 = 2/2 = 1  et  yk = (0 + 4)/2 = 2

Les coordonnées du point K sont : (1 ; 2)

b) calculer les coordonnées du point D, symétrique de K par rapport à O.

soit D(x ; y)

on écrit : DK = 2 x OK

⇒ DK = (1 - x ; 2 - y)  et  OK = (1 ; 2)

⇒ 1 - x = 2 ⇒ x = - 1

⇒ 2 - y = 4 ⇒ y = - 2

D(- 1 ; - 2)

3) quelle est la nature exacte du quadrilatère ABDK

Puisque on a déjà vu que (AB) ⊥(AC)  et  K milieu de (AC) donc ∈ (AC)  donc (AB) ⊥(AK)

de plus il faut que AK = AB

AK = √[(1+3)²+(2 -4)²] = √(16 + 4) = √20

AB = √[(- 5+3)²+(0-4)²] = √(4+16) = √20

⇒ donc AB = AK ⇒ ABDK est un carré

4) justifier que les points A, B,D et K sont sur le même cercle dont on donnera le centre et le rayon.

le carré ABDK est inscrit dans un cercle a pour diamètre BK et AD ⇒ donc A, B , D et K ∈ au cercle  de plus (BK) ⊥(AD) et se coupent au même milieu qui est le centre du cercle.

soit Ω(a ; b) le milieu de (AD)  ⇒ a = (- 1 - 3)/2 = - 2   et  b = (- 2 + 4)/2 = 1

Ω(- 2 ; 1) le centre du cercle

AD = √[(- 1 + 3)²+(- 2- 4)²] = √(4+36) = √40 = 2√10

R = AD/2  = 2√10/2 = √10

L'équation du cercle est (x + 2)² + (y - 1)² = 10

le point A(- 3 ; 4) ⇒ (- 3 + 2)² + (4 - 1)² = 10

                                       1 + 9 = 10  ⇒ A ∈ au cercle

vous vérifiez pour les autres points qu'ils appartiennent au même cercle