Bonjour, cet exercice comporte sur les repères ( niveau 2nde). Merci d'avance. Enoncé: Soit ABCD un carré. Les points U, V, S, et T appartiennent aux côtés [AB]

Bonjour,

1) Repère (A,B,D)

⇒ A(0;0), B(1;0), C(1;1) et D(0;1)

U(x ; 0)

V(1 ; x)

S(1 - x ; 1)

T(0 ; 1 - x)

Vecteur UV : UV(1 - x ; x) ⇒ distance UV = √[(1 - x)² + x²] = √(1 - 2x + 2x²)

Vecteur VS : VS(-x ; 1 - x) ⇒ distance VS = √[(-x)² + (1 - x)²] = √(1 - 2x + 2x²)

Vecteur ST : ST(x - 1 ; -x) ⇒ distance ST = √[(x - 1)² + (-x)²] = √(1 - 2x + 2x²)

Vecteur TU : TU(-x ; 1 - x) ⇒ distance TU = √[(-x)² + (1 - x)²] = √(1 - 2x + 2x²)

⇒ UV = VS = ST = TU

⇒ UVST est un carré ou un losange

UV² + VS² = (1 - 2x + 2x²) + (1 - 2x + 2x²) = 2(1 - 2x + 2x²) = 2 - 4x + 4x²

US(1 - 2x ; 1) ⇒ US² = [(1 - 2x)² + 1²] = 1 - 4x + 4x² + 1 = 2 - 4x + 4x²

⇒ UV² + VS² = US²

⇒ UVS est rectangle en V

⇒ UVST est un carré.

2) ABCD est un carré et AU = BV = CS = DT

⇒ UB = VC = SD = TA

et comme AUT, BVU, CSV et DTS sont rectangles : UV = VS = ST = TU

⇒ Les 4 triangles rectangles AUT, BVU, CSV et DTS sont égaux

⇒ Les 4 angles UVS, VST, STU et TUV sont égaux

⇒ UVST est un carré (4 angles égaux et côtés de même longueur)