bonjour j'aimerais montrer par récurrence que Un= k/(k+1) et je connais les information suivante la suite (un) est la somme des 1/[k(k+1)] avec k allant de 1 a

Bonsoir,

1)Initialisation

[tex]u_1=\dfrac{1}{2} =\sum_{k=1}^{1}\ \dfrac{1}{k*(k+1)} \\[/tex]

2) Hérédité

[tex]\sum_{k=1}^{n}\ \dfrac{1}{k*(k+1)}=\dfrac{n}{n+1} \ est\ vrai\\\\\\\sum_{k=1}^{n+1}\ \dfrac{1}{k*(k+1)}\\=\sum_{k=1}^{n}\ \dfrac{1}{k*(k+1)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\\\=\dfrac{n}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\\\=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\\\=\dfrac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}\\=\dfrac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}\\\\=\dfrac{n+1}{n+2}\\[/tex]