x et y sont deux réels tel que : [tex]x + y = \sqrt{5 } [/tex] et [tex]xy = \frac{4}{5} [/tex] calculer [tex]x {}^{3} + y {}^{3} [/tex] SVP !

Bonjour

x+y = rac 5

(x+y)^2 =5

et xy = 4/5

Développons

(x+y)^3 = (x+y)^2 × ( x+y)

On remplace par les valeurs numériques

(x+y)^3 = 5 × rac 5 (rappel (x+y) = rac5 et (x+y)^2 = 5)

(x+y)^3 = (x+y) ( x^2 + 2 xy + y^2) (rappel xy = 4/5)

5 rac5 = (rac 5)( x^2 + 2×(4/5) + y^2)

On simplifie les 2 membres de l'égalité par rac 5

5 = x^2 + 8/5 + y^2

On met les 2 membres sous le même dénominateur

25/5 = 5x^2/5 +8/5 +5y^2/5

On écrit l'égalité des numérateurs

25 =5x^2 +8 +5y^2

On multiplie les deux membres par rac5 = (x+y)

( rac5 membre gauche et (x+y) à droite)

25× rac5 = (x+y) (5x^2 +8 + 5y^2)

25 rac5 = 5 x^3 +8x + 5 x ×y^2 + 5 x^2 × y + 8y + y^3

On regroupe différemment pour faire apparaître des égalités

25 rac5 = 5 x^3 + 5 y^3 + 5xy (x+y) + 8 ( x+y)

25 rac 5 = 5( x^3+y^3) +5 ×(4/5) +8 ×rac5

25 rac5 -8rac5 -4 = 5 (x^3+y^3)

x^3 + y^3 = ( -4 +17 rac5)/5

J'espère que ça t'aidera, les calculs sont un peu complexes