Bonjour, est ce que quelqu’un peut m’aider à l’exercice 78 je n’arrive pas du tout. Merci d’avance

Bonjour,

Le triangle ABC est isocèle en A

[BC] est sa base, H est le pied de la hauteur issue de A sur la base [BC]

j'appelle a les mesures des deux côtés égaux

a = AB = AC

j'appelle b la mesure de la base b= BC

j'appelle h la hauteur issue du sommet A sur la base correspondante [BC]

On sait que  P = 16  ( P pour périmètre et A pour aire)

                    A= 1/4 ×b²

On peut exprimer l'aire du triangle ABC

 A = (AH×BC)/2

 A = (b×h)/2 = 1/4×b²

j'exprime l'égalité et je tire h en fonction de b

(b×h)/2 =×  1/4×b²   je réduis au même dénominateur

2( b×h)/4 = 1/4×b²    j'écris l'égalité des numérateurs

2×b×h  = b²        

h = b²/2b = 1/2×b

Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHB

( on sait pour le triangle ABC isocèle en A que la hauteur issue de A est aussi médiane, médiatrice de la base, d'où AH = b/2)

On va chercher la valeur de a en fonction de b dans le triangle AHB

le théorème de Pythagore dans le triangle AHB rectangle en H s'écrit

AB² = AH² +BH²

a²  =  (b/2)²    + ( b/2)²

a²  = b²/4 + b²/4

a² = 2b²/4

a =√( 2b²/4)

a = b√2/2

On se sert maintenant du périmètre pour trouver la valeur numérique de b

P ( triangle ABC) = AB+AC+BC

P                           = a+a +b = 2a +b

                              16    = 2×b√2/2 +b       j'ai remplacé a par la valeur trouvé en fonction de b )

 16 = b√2 +b

16 = b ( 1+√2)

b  = 16/ ( 1+√2)

on ne laisse pas un radical au dénominateur, je multiplie le numérateur et le dénominateur par (1-√2) de façon  à rendre le dénominateur entier

b= 16 ( 1-√2)/ ( 1+√2)(1-√2)

b = 16(1-√2/(1-2)

b= 16(1-√2)/(-1) = -16 ( 1-√2) = 16 (-1+√2)

La base b = 16( √2-1)

remplaçons b par cette valeur numérique dans l'expression de a en fonction de b

a= b√2/2

a = 16(√2-1)×√2/2

a = 8 (2-√2)

Vérification

2a +b =? 16

Calculons

2a+b=

2×8×(2-√2) + 16(√2-1) = 16(2-√2)+ 16( √2-1)

                                     =32-16√2+16√2-16 = 32-16 =16

Les dimensions du triangle ABC sont

AB =AC = 8(2-√2)     et BC = 16( √2-1)