Bonjour, J'ai un DM de maths à faire pour la rentrée et je bloque un peu sur une démonstration. Voilà l'énoncé : On considère une suite (un) définie par un=f(n)
Mathématiques
Sophiedmh
Question
Bonjour,
J'ai un DM de maths à faire pour la rentrée et je bloque un peu sur une démonstration.
Voilà l'énoncé :
On considère une suite (un) définie par un=f(n) pour tout n de N où f est une fonction définie sur R+. Démontrer les résultats suivants :
A) Si la fonction f est strictement croissante sur R+, alors la suite(un) est strictement croissante.
B) Si la fonction f est strictement décroissante sur R+, alors la suite (un) est suite (un) est strictement décroissante.
C) Si la fonction f est bornée sur R+, alors la suite (un) est bornée.
Voilà ce que j'ai fais :
A) On veut montrer que f(n+1)>f(n). F est définie sur R+.
Si n>0, alors n+1>n>0
Alors f(n+1)>f(n)>0
Donc la fonction f est strict croissante sur R+ et comme un=f(n), alors la suite (un) est strictement croissante.
B) j'ai fais la même chose mais avec n<0.
C) Je ne sais pas.
Voilà, est-ce que les deux premières questions sont bonnes ? Je pense etre sur la bonne voie mais ma demo me semble courte...
Pour la question C, je pense qu'il faut utiliser la monotonie d'une fonction mais je bloque car je sais pas à quoi est égale la suite un...je ne sais pas comment procéder.
Merci d'avance pour votre aide !
J'ai un DM de maths à faire pour la rentrée et je bloque un peu sur une démonstration.
Voilà l'énoncé :
On considère une suite (un) définie par un=f(n) pour tout n de N où f est une fonction définie sur R+. Démontrer les résultats suivants :
A) Si la fonction f est strictement croissante sur R+, alors la suite(un) est strictement croissante.
B) Si la fonction f est strictement décroissante sur R+, alors la suite (un) est suite (un) est strictement décroissante.
C) Si la fonction f est bornée sur R+, alors la suite (un) est bornée.
Voilà ce que j'ai fais :
A) On veut montrer que f(n+1)>f(n). F est définie sur R+.
Si n>0, alors n+1>n>0
Alors f(n+1)>f(n)>0
Donc la fonction f est strict croissante sur R+ et comme un=f(n), alors la suite (un) est strictement croissante.
B) j'ai fais la même chose mais avec n<0.
C) Je ne sais pas.
Voilà, est-ce que les deux premières questions sont bonnes ? Je pense etre sur la bonne voie mais ma demo me semble courte...
Pour la question C, je pense qu'il faut utiliser la monotonie d'une fonction mais je bloque car je sais pas à quoi est égale la suite un...je ne sais pas comment procéder.
Merci d'avance pour votre aide !
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
n ∈ N, donc ta distinction n > 0 / n < 0 n'a pas lieu d'être...
D'ailleurs f n'est définie que sur R+
A) f croissante
⇒ Si a < b, avec a et b ∈ R+, alors f(a) < f(b)
Or n < (n+1), donc f(n) < f(n+1)
soit : Un < Un+1
⇒ (Un) strictement croissante
B) f décroissante
⇒ Si a < b, f(a) > f(b)
⇒ f(n) > f(n+1)
⇔ Un > Un+1
⇒ (Un) strictement décroissante
C) f bornée sur R+
⇒ il existe m et M appartenant à R+ tels que, pour tout x ∈ R+ :
m ≤ f(x) ≤ M
⇒ pour tout n ∈ N*, m ≤ f(n) ≤ M
⇔ m ≤ Un ≤ M
⇒ (Un) est bornée