J’ai besoin d’aide! Je suis en 1ère S et je n’arrive pas a résoudre ce problème: Un tennisman frappe la balle à une hauteur de 1,25m en A, 1m devant le filet. L
Question
Un tennisman frappe la balle à une hauteur de 1,25m en A, 1m devant le filet. La balle franchit le filet en B a une hauteur de 1,5m; puis suivant la trajectoire parabolique elle atteint la hauteur maximale de 1,7m en M.
À quelle distance du filet va t’elle atterrir? (arrondir au centième).
Je sais que A(0;1,25) B(1;1,5) et M est le sommet de la parabole, donc le maximum est atteint en Bêta=1,7 et Alpha=?
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
Cf : f(x) = ax² + bx + c
A ∈ (Cf) ⇒ c = 1,25
B ∈ (Cf) ⇒ a + b + c = 1,5 ⇒ a + b = 1,5 - c = 0,25
Sommet M : f(x) = a(x - α)² + β
avec α = -b/2a et β = 1,7
β = -Δ/4a = -(b² - 4ac)/4a = -(b² - 4x1,25xa)/4a = (5a - b²)/4a
Donc :
a + b = 0,25 (1)
(5a - b²)/4a = 1,7 (2)
(1) ⇔ b = 0,25 - a
⇒ (2) ⇔ [5a - (0,25 - a)²] = 1,7 x 4a
⇔ 5a - 0,0625 - a² + 0,5a = 6,8a
⇔ -a² -1,3a - 0,0625 = 0
⇔ a² + 1,3a + 0,0625 = 0
Δa = 1,3² - 4x1x0,0625 = 1,44 = 1,2²
donc 2 racines : a₁ = (-1,3 - 1,2)/2 = -1,25 et a₂ = (-1,3 + 1,2)/2 = -0,05
On obtient alors : b₁ = 0,25 - a₁ = 1,5 et b₂ = 0,25 - a₂ = 0,3
Soit f₁(x) = -1,25x² + 1,5x + 1,25
ou f₂(x) = -0,05x² + 0,3x + 1,25
Voir courbes ci-joint (f₁ en bleu et f₂ en rouge)
La balle touche le sol (je te laisse la résolution sachant qu'on ne conservera que la solution positive) :
f₁(x) = 0 ⇒ x ≈ 1,76
f₂(x) = 0 ⇒ x ≈ 8,83
Sachant que le filet est à x = 1 m,
la balle retombe donc, soit à 1,76 - 1 = 0,76 m (smash) ou à 8,83 - 1 = 7,83 m (passing)
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