Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x² +3x+1. On appelle P sa courbe représentative dans un repère du plan. 1.a. Dresser le tableau de variation de f. b.
Question
On appelle P sa courbe représentative dans un repère du plan.
1.a. Dresser le tableau de variation de f.
b. Discuter, suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l'équation f(x)=m.
2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de P et de l'axe des abscisses!;
3. Pour tout réel p, on considère la droite Dp d'équation y=x+p. Déterminer le nombre de points d'intersection de Dp et de P suivant suivant les valeurs de p.
4. Pour tout réel q, on considère la droite Δq d'équation y=qx. Déterminer pour quelles valeurs de q la parabole P la droite Δq n'ont pas de point commun.
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
f(x) = x² + 3 x + 1 définie sur R et P sa courbe représentative
1) a) dresser le tableau de variation de f.
mettre f(x) sous forme canonique f(x) = a(x - α)²+β
α = - b/2a = - 3/2
β = f(α) = f(-3/2) = (-3/2)² + 3(-3/2) + 1 = 9/4 - 9/2 + 1 = - 9/4 + 1 = - 5/4
f(x) = (x + 3/2)² - 5/4
x - ∞ - 3/2 + ∞
f(x) + ∞→→→→→→→→→→ - 5/4→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
b) discuter suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l'équation f(x) = m ⇔ m = x² + 3 x + 1 ⇔ x² + 3 x + 1 - m = 0
Δ = 9 - 4(1 - m)
si Δ > 0 ⇔ 9 - 4 + 4 m > 0 ⇔ 4 m + 5 > 0 ⇒ m > - 5/4
pour m ∈]- 5/4 ; + ∞[ ⇒ L'équation possède deux solutions distinctes
si Δ = 0 ⇔ 4 m + 5 = 0 ⇒ m = - 5/4 ⇒ l'équation possède une racine double
x²+3 x + 1 + 5/4 = 0 ⇔ 4 x²+12 x + 9 = 0 = (2 x + 3)² ⇒ x = - 3/2
si Δ < 0 ⇔ 4 m + 5 < 0 ⇒ m < - 5/4 ⇒ lorsque m ∈]- ∞ ; - 5/4[ l'équation n'a pas de solution
2) déterminer les coordonnées des points d'intersection de P et de l'axe des abscisses
on écrit f(x) = 0 = x² + 3 x + 1
Δ = 9 - 4 = 5 ⇒ √5
x1 = - 3+√5)/2 ⇒ A((-3+√5)/2 ; 0)
x2 = - 3 - √5)/2 ⇒ B((-3-√5)/2 ; 0)
3) pour tout réel p, on considère la droite Dp d'équation y = x + p
déterminer le nombre de points d'intersection de Dp et de P suivant les valeurs de p
on écrit: x + p = x²+3 x + 1 ⇔ x² + 2 x + 1 - p = 0
Δ = 4 - 4(1 - p) = p
si Δ = p > 0 ⇒ l'équation possède 2 racines distinctes donc on aura deux points d'intersection
si Δ = p = 0 ⇒ l'équation possède une racine double
f(x) = 0 = x²+2 x + 1 = (x + 1)² = 0 ⇒ x = - 1 ⇒ y = - 1
on a un seul point d'intersection (- 1 ; - 1)
4) y = qx déterminer pour quelles valeurs de q la parabole P la droite Δq n'ont pas de point
on écrit : q x = x²+ 3 x + 1 ⇔ x² + 3 x - qx + 1 = 0 ⇔ x² + (3 - q) x + 1 = 0
Δ = (3 - q)² - 4 = (3 - q + 2)(3 - q - 2) < 0
(5 - q)(1 - q) < 0
q - ∞ 1 �� 5 + ∞
5-q + + 0 -
1 -q + 0 - -
Δ + 0 - 0 +
pour p ∈]1 ; 5[ ⇒ P et Δp n'ont pas de point d'intersection