On pose A={(x,y)∈ℝ2/x2+xy-2y2+5=0} 1)Preciser l'ensemble AxZ2

A est l'ensemble des couples (x, y) vérifiant x ∈ R, y ∈ R et x² + xy - 2y² + 5 = 0

On cherche à définir AxZ² c'est à dire les couples (x, y) vérifiant x² + xy - 2y² + 5 = 0 avec x ∈ Z et y ∈ Z  (l'appartenance à Z est plus stricte que l'appartenance à R)

x² + xy - 2y² + 5 = 0

x² + xy -2y² = -5

x² + 2xy - xy - 2y² = -5

x (x + 2y) - y(x + 2y) = -5

(x - y) (x + 2y) = -5

5 est un nombre premier, il n'est divisible que par 1 ou 5

On a quatre cas à étudier

• x - y = -5  et x + 2y = 1

d'où y = x + 5   et  x + 2(x + 5) = 1

soit y = x + 5 et 3x + 10 = 1

soit y = x + 5 et 3x = -9

soit x = -3 et y = 2.  

x et y sont bien dans Z donc il s'agit d'une solution valide

• x- y = 5 et x + 2y = -1

d'où y = x - 5 et x + 2 (x - 5) = -1

soit y = x - 5  et 3x - 10 = -1

soit y = x - 5 et 3x = 9

soit x = 3 et y = -2

x et y sont bien dans Z donc il s'agit d'une solution valide

• x - y = -1 et x + 2y = 5

d'où y = x + 1   et   x + 2(x+1) = 5

soit y = x + 1  et  3x + 2 = 5

soit y = x + 1  et 3x = 3

soit x = 1 et y = 2

x et y sont bien dans Z donc il s'agit d'une solution valide

• x - y = 1 et x + 2y = -5

d'ou  y = x -1  et  x + 2(x-1) = -5

soit y = x -1 et  3x -2 = -5

soit y = x - 1  et 3x = -3

soit x = -1  et y = -2

x et y sont bien dans Z donc il s'agit d'une solution valide

d'où AxZ² = {(-3; 2),  (3; -2),  (1; 2),  (-1; -2)}