Bonsoir, J'ai un dm de maths de 1re S a faire pour la rentrée mais je ne comprends vraiment rien... Pouvez-vous m'aidez s'il vous plait? merci d'avance. Voici l
Question
Voici l'ennoncé : On considère le cercle T de diamètre RS et de centre O, avec RS=4. Pour tout point M de OS, on trace la perpendiculaire à (RS) passant par M qui coupe le cercle en B et C. On note x=OM et f(x) l'aire du triangle OBC.
1. Quel est l'ensemble de définition I de f?
2. Conjecturer sur un logiciel de géométrie le maximum m de f sur I.
3. Démontrer que f(x)=xracine de(4-x^2)
4. a. Démontrer que f(x)-m=racine de (4x^2-x^4)-m en utilisant la valeur de m trouvée a la question 2.
b. Transformer f(x)-m en utilisant sa quantité conjuguée pour montrer que f(x)-m < ou égal à O sur I. (on pourra poser X=x^2)
c. quelle est l'aire maximale du triangle OBC? pour quelle position de M l'obtient t on, et quelle est alors la nature du triangle ?
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1) M ∈ [OS] et OS = 2 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 ⇒ I = [0;2]
2) on trouve m = 2
3) f(x) = (BC x OM)/2
OM = x et BC = 2BM = 2CM
Dans le triangle OMB rectangle en M : OB² = OM² + BM²
⇒ BM² = OB² - OM² = 2² - x²
⇒ BM = √(4 - x²)
⇒ f(x) = 2x√(4 - x²)/2 = x√(4 - x²)
3) x ≥ 0 ⇒ √(x²) = x
⇒ f(x) - m = √(x²)√(4 - x²) - m
= √(4x² - x⁴) - m
soit f(x) - 2 = √(4x² - x⁴) - 2 en utilisant m = 2
b) On pose X = x²
f(x) - 2 = √(4X - X²) - 2
= [√(4X - X²) - 2][√(4X- X²) + 2]/[√(4x - X²) + 2]
= [(4X - X²) - 4]/[√(4x - X²) + 2]
sachant que le dénominateur est nécessairement positif, le signe de f(x) - 2 ne dépend que du signe de :
4X - X² - 4
= -X² + 4X - 4
= -(X - 2)²
donc (4X - X² - 4) ≤ 0
⇒ f(x) - 2 ≤ 0
c) On en déduit que pour tout x ∈ I, f(x) ≤ 2
⇒ L'aire maximale de OBC vaut 2
On a alors : f(x) = 2
soit √(4x² - x⁴) = 2
⇒ 4x² - x⁴ = 4
⇔ -x⁴ + 4x² - 4 = 0
⇔ -(x² - 2)² = 0
⇒ x² = 2
⇒ x = √(2) (x ≥ 0)
Et donc OM = √(2)
On a alors BM = √(4 - x²) = √(4 - 2) = √(2)
⇒ BC = 2√(2)
et OB = OC = 2
⇒ OB² + OC² = 2² + 2² = 8 et BC² = (2√(2))² = 4x2 = 8
⇒ OBC est isocèle et rectangle en O
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