je suis un nombre entier de 4 chiffres, multiple de 9 et 10. Mon chiffre des dizaines est le même que mon chiffre des centaines. Mon chiffre des unités de mille

On cherche un nombre abcd tel que

• abcd soit multiple de 9 et de 10
• c = b
• a est diviseur de b, c et d
• a ≥ 1 sinon on n'aurait pas un nombre de 4 chiffres

abcd est un multiple de 10 donc d = 0

abcd est multiple de 9 donc on a donc (a+b+c+d) qui est multiple de 9.

On cherche donc à avoir (a + b + c) multiple de 9 avec a diviseur de b

soit (a + 2b) mutliple de 9 avec a diviseur de b

On passe en revue les candidats selon les valeurs de a

• a = 1

(1 + 2 b ) est mutliple de 9 pour b = 4 et on a bien a = 1 divisieur de b = 4 donc 1440 est un candidat valide

• a = 2

(2 + 2 b) est multiple de 9 pour b = 8 et on a bien a = 2 diviseur de b = 8 donc 2880 est un candidat valide

• a = 3

(3 + 2b) est multiple de 9 pour b = 3 et on a bien a = 3 diviseur de de b = 3 donc 3330 est un candidat valide

• a = 4

(4 + 2b) est multiple de 9 pour b = 7 mais a = 4 n'est pas un diviseur de b = 7

• a = 5

(5 + 2b) est multiple de 9 pour b = 2 mais a = 5 n'est pas un diviseur de b = 2

• a = 6

(6 + 2b) est multiple de 9 pour b = 6 et on a bien a = 6 diviseur de b = 6, donc 6660 est un candidate valide

• a = 7

(7 + 2b) est multiple de 9 pour b = 1  mais a = 7 n'est pas un diviseur de b = 1

• a = 8

(8 + 2b) est multiple de 9 pour b = 5 mais a = 8 n'est pas un diviseur de b = 5

• a = 9

(9 + 2b) est multiple de 9 pour b = 0 ou b = 9, a = 9 est diviseur de b = 0 et b = 9 donc 9000 et 9990 sont deux candidats valides

Le nombre recherché est donc l'un des nombres suivants: 1440, 2880, 3330, 6660, 9000 ou 9990