montrer par récurrence que quelque soit n appartient a N* [tex] \frac{1}{1 \times 2 \times 3?} + \frac{1}{?2 \times 3 \times 4} .... \frac{1}{n(n + 1)(n \time

Bonjour,

A:

1) Initialisation

Si n=1 alors

1/(1*2*3)=1/6

1*4/(4*2*3)=1/6

2) Hérédité:

On suppose vrai pour n et on montre que c'est vrai pour n+1

[tex]s=\dfrac{1}{1*2*3} +\dfrac{1}{2*3*4}+...+\dfrac{1}{n*(n+1)*(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4*(n+1)(n+2)}\\\\\\s+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\\\=\dfrac{n(n+3)}{4*(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\\\=\dfrac{n(n+3)^2+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\\\=\dfrac{n^3+6n^2+9n+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\\\=\dfrac{n^3+n^2+5n^2+5n+4n+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\\\=\dfrac{n^2(n+1)+5n(n+1)+4(n+1)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\\\=\dfrac{(n+1)(n^2+5n+4)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\\\[/tex]

[tex]=\dfrac{(n+1)(n^2+n+4n+4)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\\\=\dfrac{(n+1)(n+1)(n+4)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\\\=\dfrac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)}\\\\[/tex]

B: Métode directe:

[tex]\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)})\\\\=\dfrac{1}{2}(\dfrac{n+2-n}{n(n+1)(n+2)}\\\\=\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}\\\\\\\dfrac{1}{1*2*3}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{1*2}-\dfrac{1}{2*3})\\\\\dfrac{1}{2*3*4}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2*3}-\dfrac{1}{3*4})\\\\\dfrac{1}{3*4*5}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3*4}-\dfrac{1}{4*5})\\\\...\\\\\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\[/tex]

[tex]\Longrightarrow\ s=\dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{1*2}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)})\\\\=\dfrac{ (n+1)(n+2)-2}{4(n+1)(n+2)}\\\\=\dfrac{ n^2+3n}{4(n+1)(n+2)}\\\\\boxed{=\dfrac{ n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}}\\\\[/tex]