Trouver deux nombre entiers relatifs dans la Somme est 14 et le produit est -72

Quand on décompose 72 en produit de facteurs premiers, on obtient

72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Les diviseurs de 72 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72

On cherche x et y tels que x ∈ Z, y ∈ Z, x + y = 14 et xy = -72

x + y = 14 d'où y = 14 - x

xy = -72 d'où x (14 - x) = -72

Au niveau collège, on peut dire que pour que le produit soit négatif, un seul des deux membres doit être négatif

• Si x est négatif, alors 14 - x est positif: on peut donc tester tous les diviseurs de 72 en valeur négative
• SI x est positif, alors 14 - x n'est négatif que si x ≥ 14: on ne doit donc tester que les diviseurs de 72 supérieurs à 14 en valeur positive

On obtient les solutions suivantes

• x = -4  et y = 18
• x = 18 et y = -4

Au niveau lycée, on peut développer x (14 - x) = -72 pour obtenir 0 = x² - 14x - 72 et calculer les solutions de cette équation du second degré à savoir x = -4 et x = 18