chercher n un entier naturel tel que (3n -17)÷(n-4)appartien à |N

On a (n-4) qui est un diviseur de (3n - 17) (sinon le résulat de la division ne serait pas dans N)

(n-4) est diviseur de (3n - 17) donc il divise les nombres de la forme "a (3n - 17)" avec a ∈ Z(n-4) est diviseur de (n-4) donc il divise les nombres de la forme "b (n - 4)" avec b ∈ Zd'où  (n-4) est donc aussi diviseur de tous les nombres de la forme   "a (3n - 17) + b (n-4)" avec a ∈ Z et b ∈Z

En particulier (n-4) est diviseur de  (3n - 17) - 3(n-4)

(3n - 17) - 3(n-4) = 3n - 17 - 3n +12 = -5

d'où (n - 4) est diviseur de -5

Il y a quatre possibilités: -1, 1, -5 et 5

• si (n - 4) = -1, on obtient n = 3.

On a (3n - 17)/(n-4) = (3 x 3 - 17)/(3 - 4) = -8/(-1) = 8

8 ∈ N donc n = 3 est donc une solution valide

• si (n - 4) = 1, on obtient n = 5

On (3n-17)/(n-4) = (3x5 - 17)/(5-4) = -2/1 = -2

Ce n'est pas une solution valide parce que le résultat de la division n'est pas dans N

• si (n - 4) = -5, on obtient n = -1. Ce n'est pas une solution valide parce que -1 n'est pas dans N

• si (n - 4 ) = 5, on obtient n = 9

On a (3n - 17)/(n -4) = ( 3 x 9 - 17)/(9 - 4) = 10/5 = 2

2 ∈ N donc n = 9 est une solution valide

Les valeurs possibles de n sont donc 3 et 9