bonjour, vraie ou faux z différent de 0 et z+1/z=1 → Re (z)= 1/2 merci

z est un nombre complexe non nul

z + 1/ z = 1

(z² + 1)/z = 1

z² + 1 = z

z est un nombre complexe, il peut s'écrire sous la forme z = a + b i  avec a ∈ R et b ∈R

d'où

(a + b i)² + 1 = a + b i

a² +2ab i -b² + 1 = a + b i

(a² -b² +1) + 2ab i = a + b i

Les parties réelles sont identiques et les parties imaginaires sont identiques, d'où  (a² - b² + 1) = a   et 2 ab = b

On a deux cas à considérer:

• cas  b ≠ 0

On a   2a = 1 d'où a = 1/2 donc Re(z) = 1/2

d'où 1/4 -b² + 1 = 1/2

b² = 1/4 +1 - 1/2

b² = 3/4

b = √3/2  ou b = -√3/2

• cas b = 0

on a  a² + 1 = a d'où a² - a + 1 = 0

Le discriminant de cette équation du second degré est Δ = (-1)² - 4 x 1 x 1 = -3

Le discriminant est négatif donc il n'y a pas de solution dans R

b ne peut donc pas être nul

Donc z différent de 0 et z+1/z=1 → Re (z)= 1/2