Bonjour pourriez vous m'aidez sur exercice vecteur merci a tous

Bonjour,

KB + 5KC = 0                                      (1)

5JC = JA                                             (2)

et I milieu de [AB] ⇔ AI = IB = AB/2     (3)

On veut démontrer que I, J et K sont alignés.

donc par exemple que IJ et IK sont colinéaires.

On va donc exprimer IJ et Ik dans la même base, c'est-à-dire avec le même couple de vecteurs : AB et AC

(1) ⇔ KB + 5(KB + BC) = 0

⇔ 6KB + 5BC = 0

⇔ 6(KA + AB) + 5(BA + AC) = 0

⇔ 6KA + 6AB - 5AB + 5AC = 0

⇔ 6KA = -AB - 5AC

⇔ AK = 1/6 x (AB + 5AC)

(2) ⇔ 5(JA + AC) - JA = 0

⇔ 4JA + 5AC = 0

⇔ AJ = 5/4 x AC

Maintenant on exprime IJ :

IJ = IA + AJ

= -1/2 x AB + 5/4 x AC

= 1/4 x (-2AB + 5AC)                (4)

Puis IK :

IK = IA + AK

= -1/2 x AB + 1/6 x (AB + 5AC)

= -3/6 x AB + 1/6 x AB + 5/6 x AC

= -2/6 x AB + 5/6 x AC

= 1/6 x (-2AB + 5AC)               (5)

D'après (4) et (5) :

4IJ = 6IK

ou encore : IJ = 3/2 x IK

⇒ IJ et IK sont colinéaires

⇒ I, J et K sont alignés