bonjour , s'il vous plaît aidez moi dans cette question ,il faut la démontrer par récurrence Et mercii d'avantage

Bonsoir,

1) Initialisation

[tex]n=2\\\\\sum_{k=1}^{1}\ k*2^{k-1}=1*2^0=1\\(2-1)*2^2-2*2^1+1=4-4+1=1\\[/tex]

2) Hérédité

Vrai pour n ==> Vrai pour n+1

[tex]\sum_{k=1}^{n-1}\ k*2^{k-1}=(n-1)*2^n-n*2^{n-1}+1\\\\\sum_{k=1}^{n}\ k*2^{k-1}\\\\=\sum_{k=1}^{n-1}\ k*2^{k-1}+n*2^{n-1}\\\\=(n-1)*2^n-n*2^{n-1}+1+n*2^{n-1}\\\\=(n-1)*2^n+1\\\\=n*2^{n}-2^{n}+1\\\\=2n*2^n-n*2^n-2^{n}+1\\\\=n*2^{n+1}-(n+1)*2^n+1\\[/tex]