Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice et c'est pour demain ! Vous pouvez m'aider ?

(a+ib)³ + 4 (a-ib) = 0 donne a³ - 3ab² + 3a²bi - ib³ + 4a - 4ib = 0

donc a(a²-3b²+4) + ib (3a²-b²-4) = 0

d' où a = 0 --> b = 0 --> Z = 0

                 --> -b² - 4 = 0 --> b² = -4 impossible puisque b est un réél !

   OU a²-3b²+4=0 --> a²=3b²-4 --> 3a²=9b²-12 --> 3a²-b²-4=9b²-12-b²-4=0

                                                          --> 8b²=16  --> b = -√2   OU   b = +√2

                                                            --> a² = 2 --> a = -√2   OU   a = +√2

   OU b = 0 --> a = 0 --> on retrouve Z = 0 .

   OU 3a²-b²-4 = 0 --> b²=3a²-4 --> 3b²=9a²-12 --> a²-3b²+4=a²-9a²+12+4=0

                                                              --> 8a²=16 --> a = - √2   OU   a = +√2

                                                              --> b = -√2   OU   b = +√2

conclusion : les cinq solutions sont :

Zo = 0 ; Z1 = √2 + i√2 ; Z2 = √2 - i√2 ; Z3 = -√2 + i√2 ; Z4 = -√2 -i√2 .

1°) le module d' une solution non nulle  = √(√2² + √2²) = √(2+2) = √4 = 2 .

2°) Z1 = 2e(iπ/4) ; Z2 = 2e(-iπ/4) ; Z3 = 2e(3iπ/4) ; et Z4 = 2e(-3iπ/4) .

3°) déjà écrit en préliminaire : Z1 = √2 + i√2 par exemple !

4°) Z³ + 4 Z* = 0 --> Z² Z² + 4 Z Z* = 0 --> Z² Z² + 4x4 = 0 --> Z² Z² + 16 = 0

                          --> Z² Z³ + 16 Z = 0 .

remarque :

Z* désigne le conjugué de Z car la barre n' est pas disponible sur mon clavier !