Bonjour j’aimerais de l’aide pour la question 12 et 13 je sais que la limite tends vers 1/6 mais je ne sais comment le montrer

Bonsoir,

Question 13 : Utilisation de la règle de l'Hôpital.

Rappel des dérivées :

[tex]\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(\sqrt{u}\right)=\dfrac{\dfrac{d}{dx}(u)}{2\sqrt{u}}\quad | \quad\dfrac{d}{dx}(e^u)=\dfrac{d}{dx}(u)\times e^u}[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{e^{3x}-1}\\\\\\=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(\sqrt{1+x}-1\right)}{\dfrac{d}{dx}\left(e^{3x}-1\right)}\\\\\\=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}}{3e^{3x}}\\\\\\=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{6\sqrt{1+x}\ e^{3x}}\rightarrow \text{diviser revient a multiplier par l'inverse}\\\\\\=\dfrac{1}{6}[/tex]