Dans un repère orthonormé (O;I,J), on donne les points A(-3;-1), B(-2;2) et C(3;-3). 1. Démontrez que le triangle ABC est rectangle. 2. a)Construisez le cercle
Question
1. Démontrez que le triangle ABC est rectangle.
2. a)Construisez le cercle circonscrit à ce triangle et notez E son centre.
b) Calculez le rayon du cercle.
3.a)Placez sur la figure les points M(3;2) et N(5/2;5/2).
Ces points appartiennent-ils au cercle circonscrit ?
b)Démontrez que la droite (MN) est tangente au cercle circonscrit.
4.Le cercle circonscrit coupe l'axe des ordonnées en F et G.
a)Démontrez que les ordonnées y de ces points sont solutions de l'équation : (y + 1/2)^2 = 49/4
J'espère que quelqu'un pourra m'aider
Merci d'avance.
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
1) démontrer que le triangle ABC est rectangle
AB² = (- 2+3)²+(2+1)² = 1 + 9 = 10
AC² = (3+3)²+(-3+1)² = 36+4 = 40
BC² = (3+2)² + (- 3 - 2)² = 25 + 25 = 50
Selon la réciproque du théorème de Pythagore
AB²+AC² = 10 + 40 = 50
BC² = 50
⇒ L'égalité AB²+AC² = BC² est vérifiée ⇒ ABC est un triangle rectangle en A
2) a) E centre du cercle
E milieu de BC = [(3 - 2)/2 ; (- 3 +2)/2] = (1/2 ; - 1/2) les coordonnées de E
b) calculer le rayon du cercle
nous savons l'hypoténuse BC du triangle rectangle ABC est le diamètre du cercle circonscrit
⇒ rayon du cercle = BC/2 = √50/2 = 5√2/2
l'équation du cercle est (x - 1/2)² + (y +1/2)² = 50/4 = 12.5
3) les points M et N appatiennent au cercle s'ils vérifient l'équation du cercle
M(3 ; 2)⇒ (3 - 1/2)²+(2+1/2)² = 50/4
25/4 + 25/4 = 50/4
⇒ M ∈ au cercle
N(5/2 ; 5/2) ⇒ (5/2 - 1/2)²+(5/2+1/2)² = 50/4
16/4 + 36/4 = 52/4 ≠ 50/4
⇒ N ∉ au cercle
b) démontrer que la droite (MN) est tangente au cercle circonscrit
il suffit de montrer que EM ⊥ MN
⇔ les coefficients directeurs des deux droites est a x a' = - 1
EM : a = (2 + 1/2)/(3 - 1/2) = 5/2/5/2 = 1
MN : a' = (5/2 - 2)/(5/2 - 3) = 1/2/- 1/2 = - 1
Donc on a bien a x a' = - 1 ⇒ MN est tangente au cercle au point M