Bonjour pouvez vous m’aidez svp? J’ai déjà répondu à la 1ère question merci d’avance

2) Position du point J

On veut avoir : JA = JB = JC. A, B et C sont donc sur un même cercle de centre J.

J est donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ; c'est le point de concourance des trois médiatrices du triangle ABC.

Comme ABC est rectangle en A, le centre du cercle circonscrit (donc J) est le milieu du segment [BC].

3) Montrons que AKJI est un rectangle.

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AC] et J est le milieu de [BC], donc (IJ) // (AB) d'après le théorème de la droite des milieux. Comme K \in [AB], on a aussi : (IJ) // (KA).

Dans le triangle ABC, K est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC], donc (KJ) // (AC) d'après le théorème de la droite des milieux. Comme I \in [AC], on a aussi : (KJ) // (AI).

Le quadrilatère AKJI a ses côtés opposés parallèles deux à deux, donc c'est un parallélogramme. Comme l'angle en A est droit, c'est un rectangle, car tout parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle.

4)  Montrons que les points du segment [KI] sont équidistants de A et H.

On sait que l'ensemble des points équidistants à deux points donnés est la médiatrice du segment d'extrémités ces deux points.

Le problème revient donc à montrer que (KI) est la médiatrice de [AH].

Dans le triangle ABC, K est le milieu de [AB] et I est le milieu de [AC], donc (KI) // (BC) d'après le théorème de la droite des milieux.

Dans le triangle ABH, K est le milieu de [AB] et (KI) est parallèle à (BC) donc (KI) coupe [AH] en son milieu.

Par ailleurs, comme (AH) \perp (BC) et que (BC) // (KI), on a : (AH) \perp (KI).

(KI) est la droite perpendiculaire à [AH] et passant par son milieu, donc c'est la médiatrice de [AH].

Tous les points de (KI) et en particulier ceux du segment [KI] sont donc équidistants de A et de H.