Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour cet exercice. Est ce que quelqu'un pourrait m'aider ? Merci d'avance ! On définit la suite (Un) par U0 = 13 et pour tout ent
Mathématiques
evamrn23
Question
Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour cet exercice. Est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci d'avance !
On définit la suite (Un) par U0 = 13 et pour tout entier naturel n: Un+1= 1/5Un+ 4/5
1. . Montrer que la suite (Vn) définie sur ? par (Vn) = Un − 1 est géométrique de raison 1/5
v_n= u_n-1
v_n+1= u_n+1-1
= (1/5)u_n+(4/5)-1
= (1/5)u_n- (1/5)
= (1/5)*( u_n- (1/5)/(1/5))
= (1/5)(u_n-1) => on retrouve l'expression de v_n
donc v_n est une suite géométrique de raison (1/5)v_n
2. En déduire l’expression de Un en fonction de n. Quelle est la limite de la suite Un ? Justifier.
comme q<1 la limite de 12*1/5^n=0 la limite est égale à 1
3. On donne la suite Sn= U0 + U1 +...+Un - n - 1
a- déterminer le sens de variation de la suite (Sn)
Il faut utiliser la récurrence pour démontrer que un+1 est supérieur à un ?
b.Calculer Sn en fonction de n
...
c.Déterminer la limite de la suite (Sn)
...
MERCI D'AVANCE POUR VOTRE AIDE !!
Merci d'avance !
On définit la suite (Un) par U0 = 13 et pour tout entier naturel n: Un+1= 1/5Un+ 4/5
1. . Montrer que la suite (Vn) définie sur ? par (Vn) = Un − 1 est géométrique de raison 1/5
v_n= u_n-1
v_n+1= u_n+1-1
= (1/5)u_n+(4/5)-1
= (1/5)u_n- (1/5)
= (1/5)*( u_n- (1/5)/(1/5))
= (1/5)(u_n-1) => on retrouve l'expression de v_n
donc v_n est une suite géométrique de raison (1/5)v_n
2. En déduire l’expression de Un en fonction de n. Quelle est la limite de la suite Un ? Justifier.
comme q<1 la limite de 12*1/5^n=0 la limite est égale à 1
3. On donne la suite Sn= U0 + U1 +...+Un - n - 1
a- déterminer le sens de variation de la suite (Sn)
Il faut utiliser la récurrence pour démontrer que un+1 est supérieur à un ?
b.Calculer Sn en fonction de n
...
c.Déterminer la limite de la suite (Sn)
...
MERCI D'AVANCE POUR VOTRE AIDE !!
1 Réponse
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1. Réponse laurance
3) Sn+1 - Sn= un+1 -(n+1) -1 -(-n-1)= un+1 -1 =vn+1 =v0(1/5)^n
v0= u0 -1 =12 donc Sn+1 - Sn positif et ( Sn ) est croissante
b)Sn= (1+v0) +(1+v1)+...+(1+vn) - (n+1) = v0+v1+..+vn =(v0 - vn+1) /(1 -1/5)
c) la limite de vn est 0 donc celle de Sn est (12 -0)/ 4/5 = 15