Bonjour, je suis en seconde et j'ai beaucoup de mal à faire un exercice de mon DM de maths que voici : (O;I;J) est un repère orthonormé du plan. On donne les po
Question
(O;I;J) est un repère orthonormé du plan. On donne les points A(1;4) et B(3;1) .
On souhaite déterminer un point C de l'axe des ordonnées de façon à ce que le triangle ABC soit isocèle en C.
Un élève a résolu ce problème mais n'a pas justifié son raisonnement. Recopier et compléter son travail en ajoutant à chaque étape la justification absente.
Le point C a pour coordonnées C(0;y) car …..
CA² = CB² car …..
3² + (1 - y)² = 1² + (4 - y)² car …..
3² + (1 - y)² = 10 – 2y + y² car …..
1² + (4 – y)² = 17 – 8y + y² car ….....
Finir la résolution et vérifier sur une figure que la solution trouvée convient.
Expliquer la construction du point C.
Pourriez-vous m'aider à le résoudre ? (merci d'avance)
2 Réponse
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1. Réponse GoldenButterfly
Le point C a pour coordonnées (0 ;y) car c’est un point de l’axe des ordonnées.
CA² = CB² car le triangle ABC est isocèle en C et donc on a CA = CB.
CA² = (xA-xC)² + (yA-yC)² = (1-0)² + (4-y)² = 1+ (4-y)²
CB² = (xB-xC )² + (yB-yC )² = (3-0)² + (1-y)² = 9 + (1-y)²
On obtient bien, comme CA²=CB² l’égalité demandée.
1+ (4-y)²= 1+16-8y + y² = 17-8y + y²
9 + (1-y)²= 9 +1-2y + y² = 10-2y + y²
En égalant les deux expressions, on obtient : 17-8y + y² = 10-2y + y² <=> 8y + y² + 2y-y² = 10-17 <=> -6y = -7 <=> 6y=7 <=> y = 7/6
Le point C a pour coordonnées C(0;7/6) Pour obtenir C sur la figure, il faut tracer la médiatrice du segment [AB] ; C est le point d’intersection de cette médiatrice avec l’axe des ordonnées. On observe que l’ordonnée « vaut » un peu plus de 1 ce qui est cohérent.
Voila j'espère que ça peut t'aider j'avais eu ce devoir une fois je l'ai retrouvé et je t donner ma réponse qui était juste et dont le prof c'est servit comme correction.
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2. Réponse lagachevictorien
Les coordonnées sont (0,y) car C est sur l axe des ordonnées
CA^2 = CB^2 car un triangle isocèle = réunion de deux triangles de Pythagore
L équation suivante exprime cette égalité
Si on résout l équation, on trouve y=7/6 ce qui correspond à la position du point C sur l axe des ordonnées après une construction intuitive du triangle isocèle.