Bonjour j’ai 2 exercices à faire pour demain et je ne comprend pas du tout pouvez vous m’aidez à m’expliquer les bons raisonnement à fin de comprendre ? Merci

Bonjour,

Ex 3)

-1 ≤ sin(x) ≤ 1

⇒ 1 - 2 ≤ 1 + 2sin(x) ≤ 1 + 2

⇔ -1 ≤ 1 + 2sin(x) ≤ 3

Et, pour tout x ≥ 0, √x + 1 ≥ √x

Donc, pour tout x > 0, -1/√x ≤ f(x) ≤ 3/√x

2) lim -1/√x ≤ lim f(x) ≤ lim 3/√x      quand x → +∞

⇒ 0 ≤ lim f(x) ≤ 0

⇒ lim f(x) = 0

Ex 4)

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

⇒ 1 ≥ -cos(x) ≥ -1

⇒ 2 + 1 ≥ 2 - cos(x) ≥ 2 - 1

⇔ 3 ≥ 2 - cos(x) ≥ 1

⇒ 1/3 ≤ 1/(2 - cos(x)) ≤ 1

2) 1/3 ≤ lim 1/(2 - cos(x)) ≤ 1

⇒ x/3 ≤ lim x/(2 - cos(x)) ≤ x     (x → +∞ donc x > 0)

⇒ lim x/(2 - cos(x)) = +∞

(x + cos(x))/(2 + cos(x)) = x/(2 + cos(x)) + cos(x)/(2 + cos(x))

x/(2 + cos(x)) → +∞

et cos(x)/3 ≤ cos(x)/(2 + cos(x)) ≤ cos(x)

⇒ -1/3 ≤ cos(x)/(2 + cos(x)) ≤ 1      (car -1 ≤ cos(x) ≤ 1)

donc -1/3 ≤ lim cos(x)/(2 + cos(x)) ≤ 1

⇒ lim (x + cos(x))/(2 + cos(x)) = +∞       ("+∞ - 1/3 = +∞ + 1 = +∞")