Bonjour On définit la suite (Un) sur N* par U1=3 et Un+1= 3Un² -6Un+2 Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N*, Un ∈ Z Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N*, Un ≥ 3

1)Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N*, Un ∈ Z

initialisation  3 ∈ Z

hérédité  

si Un ∈ Z   alors    Un² ∈ Z   donc  3Un² -6Un+2 ∈ Z      cad   Un+1∈ Z  

2)Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N*, Un ≥ 3

initialisation 3 ≥ 3

hérédité  Un+1    =   3Un² -6Un+2  =  3Un² -9Un +  3Un  +2  =  

3Un² -9Un +  3Un   +2     =   3Un(  Un  -3 )   +  3Un   +2

3Un(  Un  -3 )   +  3Un   +2   ≥ 3Un   +2     car   Un ≥ 3

3Un  +2      ≥11        car   Un ≥ 3  donc       Un+1   ≥ 11  ≥ 3

3)Démontrer par récurrence que Un est impair

initialisation 3  est  impair  

hérédité   Un+1  =   2Un² -6Un+2    +  Un²  

or  2Un² -6Un+2   est  pair   et   Un²    est  impair  comme  Un

Si  on ajoute un nombre pair et un nombre impair  , le résultat est  impair donc  Un+1   est impair

4) Démontrer que deux termes consécutifs sont premiers entre eux

supposons  qu'ils  aient un diviseur commun  d   autre que 1

alors  Un =ad  et   Un+1 =bd    donc   bd = 3(ad)² - 6(ad)  + 2  et  

d( b - 3a²d  + 6a) = 2   comme  d est forcément  impair   il n'y a qu'une seule solution c'est que d = 1    (et  b - 3a²d  + 6a =2  )    absurde  puisque d est autre que 1