/!\ SALUT AIDER MOI SVP POUR L’EXO 1 et 2

Bonjour;

Exercice 1 .

Pour les deux questions , on va procéder par récurrence .

1)

Initialisation .

On a : 1 - e^(- 3 x 0) = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0 = u_0 ;

donc la propriété donnée est vérifiée pour n = 0 .

Hérédité .

Supposons pour un "n" nombre entier naturel qu'on a :

u_n = 1 - e^(- 3n) .

Calculons u_(n + 1) .

u_(n + 1) = (u_n + e^3 - 1)/e^3

= (1 - e^(- 3n) + e^3 - 1)/e^3

= (- e^(- 3n) + e^3)/e^3

= - e^(- 3n -3) + e^(3 - 3)

= - e^(- 3(n + 1)) + e^0

= 1 - e^(-3(n + 1)) .

Conclusion .

Pour tout n nombre entier naturel : u_n = 1 - e^(- 3n) .

2)

Initialisation .

On a : 2^(3 x 0) - 1 = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Comme 7 divise 0 , donc la propriété donnée est vérifiée pour n = 0 .

Hérédité .

Supposons pour un "n" nombre entier naturel qu'on a :

7 divise 2^(3n) - 1 .

Calculons : 2^(3(n + 1)) - 1 .

2^(3(n + 1)) - 1 = 2^(3n + 3) - 1

= 2^3 x 2^(3n) - 1

= 8 x 2^(3n) - 1

= 8 x 2^(3n) - 8 + 7

= 8(2^(3n) - 1) + 7 qui est divisible par 7 car 2^(3n) - 1) l'est ;

donc : 2^(3(n + 1)) - 1 est divisible par 7 .

Conclusion .

Pour tout n nombre entier naturel : 7 divise 2^(3n) - 1 .